最值在中考数学中属于高频考点，无论几何还是二次函数压轴题，都有它的影子。
但二次函数和几何中求最值通常是不一样的：
几何题中往往需要转化成几何问题，隐圆、旋转、对称……比较难想；
而二次函数中常常用解析法，哪怕是做辅助线，也比较容易想到，难点在计算上。
我们来看下面的例题。
01
解析法
解析法，简单一些来说，就是：
把问题用代数，方程或者函数表达出来，再通过函数或代数式的性质，来解决相应问题。
在初中高中这里，具体的就是：
把几何、物理问题跟函数结合起来；
再放到坐标系内；
利用坐标系来研究函数的性质，从而解决几何和物理问题。
我们常做的二次函数压轴题就是这个类型。
高中的圆锥曲线，还有立体几何中的建立坐标系，也是用解析法解决问题。
现在中考、高考又出了很多新题型，也是函数和现实问题结合，放到坐标系中——
目的是让学生学会用解析法解决问题。
这些记好，如此便明确出题目的，学习方向，题目中的数学思维。
下面我们看题目的第一问。
第一问很简单，大部分同学都会做，这也是一个常规操作。
这个常规操作就两分，但是通过它我们要明白：
在坐标系内，点和解析式的对应关系。
这个关系，是后续计算的基础——就比如第二问，求一个最值。
要求最值，你需要三步：
第一对应，点在抛物线上，如何用解析法表达点的坐标；
第二运算，表示出来坐标，让坐标点参与运算，进行代数推理；
第三思考，利用一些几何知识，结合代数式解决问题。
先看第一步。
点在抛物线上、点在直线上，根据这些条件要会设点的坐标。
这里暗含一层意思，点在抛物线（直线）上，就是这个点满足抛物线（直线）的解析式。
既然满足解析式，解析式本质上也是一种函数；
我们就可以利用函数的性质来分析点，来做运算，来解决问题。
接下来第二步，让点的表达式参与运算。
PD取得最大值——怎么处理？
PD之间的距离，是可以用坐标系内的点的坐标来表示的。
比如小学生都会学：
你在（2，2）这个位置，我在（2，1）——我们在同一列不同的行。
我们之间差一个单位的距离，计算起来就是2-1=1。
那么PD的长，我们就用P的纵坐标减去D的纵坐标，得出一个距离的表达式——
小学生不能这么搞，代数思维是很抽象的，他们的抽象能力还没有达到这个级别。
在抽象坐标系内的运算，他们只能理解具体的数。
而初中生可以理解代数抽象了，这里再讲一遍是我们要把概念的根本逻辑搞清楚。
接着看：
距离的表达式也是一个函数，我们可以利用函数的性质来类比解决最值问题。
对应到这里就是一个二次函数，二次函数有最值、有最值点；
找到它的最值和最值点PD距离的最大值就解决了——这就是解析。
第三，更复杂的，求AM+MN+NF的最小值，需要一点思考。
我们要利用一点几何知识了。
因为MN定值，那么AM+MN+NF的长度，就取决于AM+NF了。
我们都知道：两点之间线段最短，那么只要ANF在一条线上，就OK了。
都不挨着，怎么办？
平移，平移是我们经常用的手段。
这就是几何方法——在几何压轴题里也常用，届时根据形势需要我们也会做平移。
如下图，平移之后A'N'F就在一条线上，这样就转化成求一条线段的长度了。
坐标系内求线段长度，有“两点之间的距离公式”，或者，也可以用勾股定理。
勾股定理正好符合了坐标系内运算的规律。
我们说坐标系内的点，无论它的横坐标还是纵坐标，都是跟坐标轴垂直方向的对应点。
即便是x轴，也是垂直于y轴的。
那么这样的垂直，就很容易构成直角三角形；
既然是直角三角形就很容易利用勾股定理。
这也是坐标轴内解析法的妙处——可以把很多知识点都迁移到坐标轴里来。
我们再往下看第三问，先画画图。
为什么能够画出这张图呢？因为我知道沿着直线平移如何平移。
简单来说就是：看方向，依旧是左加右减，上加下减。
沿着CA，是向左，向下；
那么平移后解析式表达出来；
再根据经过的点来求平移的单位。
——坐标系里，函数的一些规律，我们也要知道一点。
不仅仅是把几何问题迁移到坐标系内，坐标系内的一些规则，我们也要明白一些。
等于一个地界有一个地界的规则，这些个规则，咱们得懂。
这要看平时的学习积累了——做学问，偷不得懒哦。
既然有新的解析式和图像，我们就可以算出它与直线的交点k。
这还是要根据对应来。
有交点，交点在直线上也在抛物线上，那就是它们的纵坐标相等；
我们便可以联立方程，或者直接让他们的解析式相等。
这也是求交点的惯用操作——包括以后的圆跟直线交点，椭圆跟直线交点……
解析系统里有很多操作，都是前人总结，这些操作你最好都收集一下！
利用这些操作，熟悉使用这些操作，会帮助你快速通向答案。
接着来，当我们联立方程，便能求出k值，接着Q点的位置我们就可以根据条件推测了。
这时候，你需要一些【经验】。
∠QDK=∠ACB，假如k在AC的下方，DK和BC是平行的。
既然平行，那么这两条抛物线还互相平行，那么我们就可以想见：
K和Q的纵坐标是相同的;
既然纵坐标相同，我们就可以轻松算出Q点.
——这便是经验，也可以说是直觉。
这种题让直接写出符合条件的点，靠经验和直觉就行，省时间。
而剩下一个点，靠经验和直觉就不行了。
直觉上这个点就在AC的上方，但你还不能直接就让它跟Q1对称，不一定的。
我们需要思考——做出这一问，就靠个人能力了。
分析：
既然Q2在AC的上方，又因为∠QDK=∠ACB，AD=AD,我们可不可以构造一个三角形；
∠DAB=45°，我们只需要另外一个等于45°的角；
于是，我们可以过A作GA⊥X轴，△GAD≌△DAH.
接着我们就可以根据线段相等来计算了。
经过计算我们找到了Q2，找到这个点，真的需要能力。
如果做不出来，做到Q1已经很不错了——计算过程也很复杂，一不小心就错了。
好，题目做完了。
到这里，你也看出来了，二次函数大题其实就是解析法的终极试炼。
解析法是一个很好的工具，我们数学教育的目的就是：教学生使用数学工具。
不是所有人都可以发明工具，也不要追求这个——创意使用工具，已经很了不起了。